導入

流動性提供時に提供したLPトークンを構成する各基礎トークンのボリュームが、如何に決定できるのかを考察する。

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流動性解除時、各基礎トークンは以下のようにamountのボリュームが引き出せる。

$$\text{amount}_0 = \text{balance}_0 \times \frac{\text{liquidity}}{\text{\_totalSupply}}$$

$$\text{amount}_1 = \text{balance}_1 \times \frac{\text{liquidity}}{\text{\_totalSupply}}$$

$ \text{balance0} \approx \text{\_reserve0}$ $ \text{balance1} \approx \text{\_reserve1}$なので、

$$\text{amount0}_{\text{out}} = \text{\_reserve0} \times \frac{\text{liquidity}}{\text{\_totalSupply}}$$

$$\text{amount1}_{\text{out}} = \text{\_reserve1} \times \frac{\text{liquidity}}{\text{\_totalSupply}}$$

これを今回の仕様に合わせて整理して以下とする。

$$Sx_t = x_t \times \frac{l_t}{\text{totalSupply}_t}$$

$$Sy_t = y_t \times \frac{l_t}{\text{totalSupply}_t}$$

時間$0$において、UniswapV2の任意のペアにあなたが提供した（保有する）流動性$l_0$の内訳を$(Sx_0, Sy_0)$とする。

この時、UniswapV2のモデルは以下のように表すことにする。

$$x \times y = k_0$$

さらにその後、多くのユーザーによる流動性の出し入れやスワップにより、プールの状態は以下のように変化したと仮定する。

$$x \times y = k_t$$

このときのあなたが保有する流動性$l_0$の時間$t$での内訳を$(Sx_t, Sy_t)$とした場合の算出方法を考察する。

では、流動性提供時に提供したLPトークンを構成する各基礎トークンのボリュームが、どのように計算できるかを考察する。

時間$0$においての以下のデータ

この条件より以下も既知

時間$t$においての以下のデータ（あなたのLPトークン保有量は変化しないとする）

この条件より以下も既知

Uniswapのモデルでは、LPトークンの保有量はプール全体のリザーブに対するシェアを表す。

具体的には、あなたのプールにおけるシェアは以下で計算される。

時間0におけるシェア

$$\text{シェア}_0 = \frac{l_0}{\text{totalSupply}_0}$$

時間$t$におけるシェア

$$ \text{シェア}_t