UniswapV2の価格

まず、V2では、$x$・$y$ のリザーブが実体として存在する。

したがって、$x_{\mathrm{real}}$・$y_{\mathrm{real}}$ という実体のあるリザーブがあり、その比率によって価格を考えることができる。

つまり、V2ではリザーブありきで計算してよい。基本式は以下となる。

$$x_{\mathrm{real}}\cdot y_{\mathrm{real}}=k$$

また、流動性の大きさを表す補助的な尺度として $L_{\mathrm{v2}}=\sqrt{k}$ と置けば、次のようにも書ける。

$$x_{\mathrm{real}}\cdot y_{\mathrm{real}}=L_{\mathrm{v2}}^2$$

価格は、リザーブ比率として以下のように表される。

$$\frac{y_{\mathrm{real}}}{x_{\mathrm{real}}}=P$$

¢¢☝️:$x_{\mathrm{real}}$・$y_{\mathrm{real}}$ は、ある時点では既知のリザーブなので、リザーブありきで価格を考えることができる。¢¢

¢¢⚠️:ただし、ここでいう価格はスポット価格である。実際のswapでは取引量に応じてリザーブ比率が変化するため、平均約定価格はこの値とは異なる。¢¢

¢¢⚠️:ここでの $L_{\mathrm{v2}}$ は、V3の liquidity と同じ意味の状態変数ではない。あくまでも、$k$ の平方根として置いた補助的な流動性尺度である。¢¢

UniswapV3の価格

一方、V3では、LPは任意の価格レンジに流動性を配置する。

現在価格がそのレンジ内にあるとき、そのレンジの流動性が active liquidity としてswapに効く。

V3でも、現在価格を含む範囲においては、仮想的なリザーブ $x_{\mathrm{virtual}}$・$y_{\mathrm{virtual}}$ が存在するとみなせる。

$$x_{\mathrm{virtual}}\cdot y_{\mathrm{virtual}}=L^2$$

$$\frac{y_{\mathrm{virtual}}}{x_{\mathrm{virtual}}}=P$$

¢¢⚠️:あくまでも、仮想リザーブとして「記述できる」という意味である。¢¢

¢¢🚨:$x_{\mathrm{virtual}}$・$y_{\mathrm{virtual}}$ は、Poolコントラクトが実残高として保持している値ではない。V2のように、実リザーブを直接参照して価格を出すわけではない。¢¢

V3では、現在価格 $P_{\mathrm{current}}$、現在価格を含むtick区間で有効な active liquidity $L_{\mathrm{current}}$、swapによるトークン量の変化 $\Delta x$・$\Delta y$ をもとに、次の価格を更新していく。

まず、

$$x_{\mathrm{virtual}}\cdot y_{\mathrm{virtual}}=L^2$$

$$\frac{y_{\mathrm{virtual}}}{x_{\mathrm{virtual}}}=P$$

を変形すると、次のように書ける。

$$x_{\mathrm{virtual}}=L\times\frac{1}{\sqrt{P}}$$

$$y_{\mathrm{virtual}}=L\times\sqrt{P}$$

ここで、swapにより token0 側（仮想リザーブの）の量が $\Delta x=x_{\mathrm{virtual,next}}-x_{\mathrm{virtual,current}}$ だけ変化（増加）し、価格が $P_{\mathrm{current}}$ から $P_{\mathrm{next}}$ に変化（減少）したとする。

¢¢⚠️:ここでは、$\Delta x$ を仮想 token0 リザーブの増加量、すなわち token0 がプールに入る方向の量として扱う。このとき価格は $P_{\mathrm{current}}$ から $P_{\mathrm{next}}$ に下がる。¢¢

¢¢⚠️:注意点として、V2では、手数料を無視すればswap中に $k$ は一定として扱える（変化しない）。V3では、手数料やtick境界を無視すれば、同一tick区間内のswapで $L_{\mathrm{current}}$ は一定として扱える（変化しない）。ただし、価格がtick境界をまたぐと active liquidity は更新される。一方で、価格はswapによるリザーブまたは仮想リザーブの変化に応じて変動する。¢¢

$$\begin{aligned} \Delta x&=L_{\mathrm{current}}\times\Delta\left(\frac{1}{\sqrt{P}}\right) \\ &=L_{\mathrm{current}}\times\left(\frac{1}{\sqrt{P_{\mathrm{next}}}}-\frac