導入

Uniswapの有名な数理モデル

$$x \cdot y = k$$

をいじって遊んでいたところ、モデルの理解が深まったので、ここにまとめておくことにします。

前提

本記事は、AMMの基本的な知識を前提に執筆しております。

詳しくない方は、あらかじめ以下などをご確認ください。

$x \cdot y = k$を前提とした理想的なスワップの数理モデルを構築します。

でも触れましたが、

$x \cdot y = k$を偏微分すると、

「プールを主語とした場合」、

インプットされる基礎トークン$x$１あたりの（正の値）

アウトプットする基礎トークン$y$の量、（負の値）

つまり、

取得難易度$\frac{\partial y}{\partial x}$が算出できます。

これを普通は、交換レートとか、価格とかというと思います。

したがって、

微小インプット基礎トークン量$\partial x$と

取得難易度$\frac{\partial y}{\partial x}$の積が、

微小アウトプット基礎トークン量$\partial y$となります。

$$\partial y = \partial x \times \frac{\partial y}{\partial x}$$

$$\partial x = \partial y \times \frac{\partial x}{\partial y}$$

よって、

各微小インプット基礎トークン量とそのときの取得難易度の積の総和、

つまり、

インプットする基礎トークンの量の範囲で定積分すると、

アウトプットの基礎トークン量が計算できます。

$$\int \partial y = \int \partial x \times \frac{\partial y}{\partial x}$$

$$\int \partial x = \int \partial y \times \frac{\partial x}{\partial y}$$

また、全範囲、つまり、無限区間$[0, \infty)$の定積分のイメージは以下で、

有限区間$[x, x+\Delta x]$$[y, x+\Delta y]$の場合は以下のようなイメージになります。