TWAR (Time Weighted Average Reserve)

¢¢⚠️:TWARは、TWAPと現在の k から逆算した仮想的な公正リザーブのことをいう。これは時間平均されたリザーブではなく、TWAP整合の仮想リザーブであるため、公正リザーブと呼ぶべきであろうが、ここでは通称であるTWARを採用する。¢¢

定義

Uniswap v2型AMMを前提にすると、

TWARは、TWAPから直接取得したリザーブではなく、現在のプールの積$k$を維持しつつ、リザーブ比がTWAP$\bar p_0$と一致するように逆算した仮想リザーブである。

$$\begin{aligned}&&\left\{\begin{array}{l}\bar{r}_0 \cdot \bar{r}_1 = k \\ \frac{\bar{r}_1}{\bar{r}_0} = \bar{p}_0\end{array}\right. &\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\bar{r}_0 = \sqrt{\frac{k}{\bar{p}_0}} \\ \bar{r}_1 = \sqrt{k\bar{p}_0}\end{array}\right.\end{aligned}$$

$\bar{p_i}$：トークン$i$のドル建TWAP
$\bar{r_i}$：トークン$i$のTWAR

¢¢🔗:導出に関しては、補足参照¢¢

TWAPが決定するのはリザーブの比率だけである。例えば、$\bar p_0=1$の場合、$(\bar r_0,\bar r_1)$は、$(1,1)$、$(100,100)$、$(10000,10000)$でもいずれも同じ価格比を持つ。

$$\frac{\bar{r}_1}{\bar{r}_0} = \bar{p}_0\$$

つまり、この式だけでは、TWAPを用いてTWARなるものを決めようとしているのに、TWAPは単なる比率しか提供しないので、２つ基礎トークンのTWARが一意に定まらないということだ。

そこで、現在のプールから取得した$k$をリザーブの規模として使用し、AMMのルールで縛ることで一意に定めている。

$$\bar{r}_0 \cdot \bar{r}_1 = k $$

$\bar p_0$：TWARの比率を決める
$k$：TWARの規模を決める

スポットリザーブとの関係

さて、

$$\left\{\begin{array}{l}\bar{r}_0 = \sqrt{\frac{k}{\bar{p}_0}} \\ \bar{r}_1 = \sqrt{k\bar{p}_0}\end{array}\right.$$

に注目する。

先ほど言及してきたように、現在のプールから取得した$k$をリザーブの規模として使用することでTWARを一意に定めたことから、

$k$を前提とすることで、スポットリザーブとの関係を調べることもできる。具体的には以下のように変形できる。

$$\begin{aligned}&&\bar{r}_0 &= \sqrt{\frac{k}{\bar{p}_0}} \\ &&&= \sqrt{\frac{r_0 \cdot r_1}{\bar{p}_0}}\quad(\because k = r_0 \cdot r_1) \\ \Longleftrightarrow\quad &&\bar{r}_0^2 &= \frac{r_0 \cdot r_1}{\bar{p}_0} \\ \Longleftrightarrow\quad &&\frac{\bar{r}_0^2}{r_0^2} &= \frac{r_0 \cdot r_1}{\bar{p}_0} \cdot \frac{1}{r_0^2} \\ &&&= \frac{1}{\bar{p}_0} \cdot \frac{r_1}{r_0} \\ &&&= \frac{1}{\bar{p}_0} \cdot p_0\quad(\because p_0 = \frac{r_1}{r_0}) \\ &&&= \frac{p_0}{\bar{p}_0} \\ \therefore\quad &&\frac{\bar{r}_0}{r_0} &= \sqrt{\frac{p_0}{\bar{p}_0}}\quad\left(\because \frac{\bar{r}_0}{r_0} > 0\right)\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}&&\bar{r}_1 &= \sqrt{k \cdot \bar{p}_0} \\ &&&= \sqrt{r_0 \cdot r_1 \cdot \bar{p}_0}\quad(\because k = r_0 \cdot r_1) \\ \Longleftrightarrow\quad &&\bar{r}_1^2 &= r_0 \cdot r_1 \cdot \bar{p}_0 \\ \Longleftrightarrow\quad &&\frac{\bar{r}_1^2}{r_1^2} &= \frac{r_0 \cdot r_1 \cdot \bar{p}_0}{r_1^2} \\ &&&= \frac{r_0}{r_1} \cdot \bar{p}_0 \\ &&&= \frac{1}{\frac{r_1}{r_0}} \cdot \bar{p}_0 \\ &&&= \frac{1}{p_0} \cdot \bar{p}_0\quad\left(\because p_0 = \frac{r_1}{r_0}\right) \\ &&&= \frac{\bar{p}_0}{p_0} \\ \therefore\quad &&\frac{\bar{r}_1}{r_1} &= \sqrt{\frac{\bar{p}_0}{p_0}}\quad\left(\because \frac{\bar{r}_1}{r_1} > 0\right)\end{aligned}$$