結論

偏微分

¢¢☝️:要するに、多変数関数で、1つの変数だけを動かしたときの変化率。¢¢

2変数関数 $z=F(x,y)$ では、$x$ と $y$ の2つの入力で値が決まる。

$x$ だけを動かしたときの変化率を、$$\frac{\partial F}{\partial x}$$ と書く。

$y$ だけを動かしたときの変化率を、$$\frac{\partial F}{\partial y}$$ と書く。

省略して、$$F_x,\quad F_y$$ とも書く。

勾配

¢¢☝️:要するに、偏微分をまとめたベクトル。¢¢

偏微分を並べたものを、勾配という。

$$\nabla F=(F_x,F_y)$$

勾配は、$F$ が最も増える方向を表す。ここで使っている $\nabla$ をナブラという。

発散

¢¢☝️:要するに、ベクトル場がその点からどれだけ湧き出しているか。¢¢

ベクトル場 $\mathbf{A}=(A_x,A_y)$ に対して、発散は、

$$\nabla\cdot\mathbf{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}$$

と書く。

発散が正なら、その点から外へ広がる。発散が負なら、その点へ集まる。

ラプラシアン

¢¢☝️:要するに、ある点の値が周囲と比べて高いか低いかを見る演算子。¢¢

スカラー関数 $F(x,y)$ に対して、ラプラシアンは、

$$\Delta F=\nabla^2F=\frac{\partial^2F}{\partial x^2}+\frac{\partial^2F}{\partial y^2}$$

と書く。

これは、勾配の発散としても見られる。

$$\Delta F=\nabla\cdot(\nabla F)$$

全微分

¢¢☝️:要するに、少し動いたときに $F$ がどれだけ変わるか。¢¢

$x$ を少し $dx$、$y$ を少し $dy$ だけ動かすとき、$F$ の変化は、

$$dF=F_xdx+F_ydy$$

で表される。

これは勾配を使うと、

$$dF=\nabla F\cdot(dx,dy)$$

と書ける。

詳細

1変数の微分

1変数関数 $y=f(x)$ では、入力は $x$ だけである。

このとき微分は、$x$ を少し動かしたときに、$f$ がどれだけ変わるかを表す。

$$df=f’(x)dx$$

つまり、

$$関数の変化=(変化率)\times(入力の変化)$$

である。

多変数関数

多変数関数では、入力が複数ある。たとえば $z=F(x,y)$ では、$x$ と $y$ の2つで $z$ が決まる。

そのため、$F$ の変化には、$x$ 方向の変化と $y$ 方向の変化がある。

だから、どの方向にどれだけ変化するかを分けて考える必要がある。

偏微分

$x$ 方向だけの変化率を見るときは、$y$ を一定として考える。これが $x$ に関する偏微分である。

$$F_x=\frac{\partial F}{\partial x}$$

同様に、$y$ 方向だけの変化率を見るときは、$x$ を一定として考える。

$$F_y=\frac{\partial F}{\partial y}$$

¢¢☝️:偏微分は、多変数関数を一方向ずつ見るための微分。¢¢

例

$$F(x,y)=x^2+y^2$$

$x$ で偏微分するときは、$y$ を定数として見る。

$$F_x=2x$$

$y$ で偏微分するときは、$x$ を定数と