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Uniswap v2における価格変化とリザーブの関係

先日（2024/10/1）ハードディスクを落としてしまってデータがなくなり、二度と編集できなくなった以下の画像をご覧ください。（なので、本記事と使っている記号が違う...）

価格$P$とリザーブ$x$$y$の関係式

まず、価格$P$とリザーブ$x$$y$の以下の関係式を導出する。

$$ \left\{ \begin{array}{l} x \cdot y = k \\ \frac{y}{x} = P \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt{k} \cdot \frac{1}{\sqrt{P}} \\ y = \sqrt{k} \cdot \sqrt{P} \end{array} \right.$$

Uniswap v2の数理モデルは以下。

$$x \cdot y = k 　(＊)$$

また、【Vol.1】Uniswap v2 入門：Uniswap v2の数理モデルをディグるにて確認したように、価格取得難易度はこの式を $x$ で微分して得られた。

$$\begin{aligned}&&F(x,y) &= xy - k = 0 \\ \Longrightarrow\quad &&dF &= \frac{\partial F}{\partial x}dx + \frac{\partial F}{\partial y}dy = 0 \\ \Longleftrightarrow\quad &&y\,dx + x\,dy &= 0 \\ \Longleftrightarrow\quad &&\frac{y\,dx + x\,dy}{dx} &= 0 \\ \Longleftrightarrow\quad &&y + x\frac{dy}{dx} &= 0 \\ \Longleftrightarrow\quad &&x\frac{dy}{dx} + y &= 0 \\ \Longleftrightarrow\quad &&\frac{dy}{dx} &= -\frac{y}{x}\end{aligned}$$

¢¢🔗:参考：陰関数微分法¢¢

¢¢🔗:参考：偏微分・勾配・発散・ラプラシアン・全微分｜多変数関数の変化を読む¢¢

これをよく見る価格として捉え直すと、価格は正の数で表され、単なる量の比であることから

$$P=\frac{y}{x} 　(＊＊)$$

では、この(＊)、(＊＊)をリザーブ$x$$y$について解く。

$$\left\{\begin{aligned}xy &= k \quad (*) \\ P &= \frac{y}{x} \quad (**)\end{aligned}\right.$$

(＊＊)より

$$\begin{aligned}P &= \frac{y}{x} \\ \Longleftrightarrow\quad y &= Px\quad(\because x \neq 0)\end{aligned}$$

(＊)に代入して

$$\begin{aligned}x(Px) &= k \\ \Longleftrightarrow\quad Px^2 &= k \\ \Longleftrightarrow\quad x^2 &= \frac{k}{P}\quad(\because P \neq 0) \\ \therefore\quad x &= \sqrt{\frac{k}{P}}\quad(\because x \geq 0)\end{aligned}$$

(＊＊)より

$$\begin{aligned}y &= Px \\ &= P\sqrt{\frac{k}{P}} \\ &= \sqrt{kP}\quad(\because P \geq 0)\end{aligned}$$

結果、以下のようになる。

$$\begin{aligned}\left\{\begin{array}{l}x \cdot y = k \\ \frac{y}{x} = P\end{array}\right. &\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = \sqrt{\frac{k}{P}} \\ y = \sqrt{kP}\end{array}\right. \\ &\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = \sqrt{k}\times\frac{1}{\sqrt{P}} \\ y = \sqrt{k}\times\sqrt{P}\end{array}\right.\end{aligned}$$

価格変化とリザーブの関係式

先ほどの導出を前提として、流動性指標$k$が一定であると仮定し、価格が$n$ 倍になったとする。

:::流動性指標$k$ について

事前に、Vol.1で流動性指標$k$ は以下のようなイメージが最終的に得られたことを思い出したい。