メモ

ひとまず、備忘のための最低限をまとめておく
V3の話も追記する
より深い議論をしていく

前提

AMMおよびUniswapの最低限の知識を前提としています。

詳しくない方は以下を先に参考ください。

【３部作】これであなたもUniswapV2チョットデキル【前編】：流動性を基軸にUniswapV2モデルとその実装を整理する
【３部作】これであなたもUniswapV2チョットデキル【中編】：君が主役だ！LPトークンスペシャル！！
【３部作】これであなたもUniswapV2チョットデキル【後編】：準備中

また、現時点では最低限自身の備忘録としてまとめていますので、将来的には諸々追記していく予定です。

準備

（参考：【３部作】これであなたもUniswapV2チョットデキル【後編】：準備中）

AMM（UniswapV2）における価格変化とリザーブの関係

先日ハードディスクを落としてしまってデータがなくなり、

二度と編集できなくなった以下の画像をご覧ください。（なので、本記事と使っている記号が違います...）

右の式はかなり有名の式なので、見たことがある方もいるかもしれません。

価格$P$とリザーブ$x$$y$の関係式

まず、価格$P$とリザーブ$x$$y$の以下の関係式を導出します。

$$ \left\{ \begin{array}{l} x \cdot y = k \\ \frac{y}{x} = P \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt{k} \cdot \frac{1}{\sqrt{P}} \\ y = \sqrt{k} \cdot \sqrt{P} \end{array} \right.$$

UniswapV2の数式は以下です。

$$x \cdot y = k 　(＊)$$

また、

【３部作】これであなたもUniswapV2チョットデキル【前編】：流動性を基軸にUniswapV2モデルとその実装を整理する

にて確認したように、

価格取得難易度はこの式を $x$ で微分して得られました。

$$\frac{d}{dx} (x \cdot y) = \frac{d}{dx} (k)$$

$$\frac{d}{dx} (x \cdot y) = x \cdot \frac{dy}{dx} + y \cdot \frac{dx}{dx}$$

ここで、$\frac{dx}{dx} = 1$なので、

$$x \cdot \frac{dy}{dx} + y = 0$$

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$$

$$\frac{d}{dx} (x \cdot y) =-\frac{y}{x}$$

さらに、これをよく見る価格として捉え直すと、

価格は正の数で表され、単なる量の比であることから

$$P=\frac{y}{x} 　(＊＊)$$

では、この(＊)、(＊＊)をリザーブ$x$$y$について解いていきます。

流石にこれは手を動かせば解けるので省略します。

結果、以下のようになります。

$$ \left\{ \begin{array}{l} x \cdot y = k \\ \frac{y}{x} = P \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt{k} \cdot \frac{1}{\sqrt{P}} \\ y = \sqrt{k} \cdot \sqrt{P} \end{array} \right.$$

価格変化とリザーブの関係式

先ほどの導出を前提として、流動性 $k$ が一定であると仮定し、価格が $n$ 倍になったとします。

すると、$x$ と $y$ はそれぞれ $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 倍と $\sqrt{n}$ 倍され、

以下の